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§3. 函数极限
一、函数极限的概念
(一)函数极限的定义
1.$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}f(x) =A$
定义 1:设 $f(x)$ 在 $[a,+\infin)$ 上有定义,($a$ 是某个常数),$A$ 是一个确定的常数,若 $\forall\epsilon>0$,$\exist X>0$,当 $x>X$ 的一切实数时,都有 $\mid f(x)-A\mid <\epsilon$,称 $f(x)$ 趋于正无穷大时的极限为 $A$,记作:
$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}f(x) =A $$
或者
$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow +\infin) $$
2.$\lim\limits_{n\rightarrow-\infty}f(x) =A$
定义 2:设 $f(x)$ 在 $(-\infin,a]$ 上有定义,($a$ 是某个常数),$A$ 是一个确定的常数,若 $\forall\epsilon>0$,$\exist X > 0$,当 $x<-X$ ,都有 $\mid f(x)-A\mid <\epsilon$ ,称 $f(x)$ 趋于负无穷大时的极限为 $A$,记作:
$$ \lim\limits_{n\rightarrow-\infty}f(x) =A $$
或者
$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow -\infin) $$
3.$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x) =A$
定义 3 :设 $f(x)$ 在 $(-\infin,a]\bigcap [b,+\infin)(a \leq b, a,b$ 均为常数 $)$ 上有定义,$A$ 是一个确定的常数,若 $\forall\epsilon>0$,$\exist X > 0$,,当 $\mid x\mid>X$,( $x<-X$ 或 $x>X$),都有 $\mid f(x)-A\mid <\epsilon$ ,称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于无穷大时极限为 $A$,记作:
$$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x) =A $$
或者
$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow \infin) $$
==注意:==$x\rightarrow x_0$ 表明的是一个趋势 ,$x\in\biguplus(x_0) ,x\neq x_0$
4.$\lim\limits_{n\rightarrow x_0}f(x)=A$
定义 4:若 $\exist\delta_0 >0 ,f(x)$ 在 $\biguplus(x_0,\delta_0)$ 中有定义,对于 $\forall \epsilon>0,\exist\delta >0(\delta\leq\delta_0)$,当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$ 时,都有 $\mid f(x)-A\mid<\epsilon$,称 $f(x)$ 当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的极限为 $A$,记作:
$$ \lim\limits_{n\rightarrow x_0}f(x)=A $$
或者:
$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow x_0) $$
5.$\lim\limits_{n\rightarrow x_0^+}f(x)=A$
定义 5:设 $\exist\delta_0>0,f(x)$ 在 $\biguplus_+(x_0,\delta_0)(x\in (x_0,x_0+\delta_0))$ 中有定义,$A$ 是一个确定的常数,对于 $\forall\epsilon>0, \exist\delta>0(\delta\leq\delta_0),$ 当 $x_0<x<x_0+\delta$,都有 $\mid f(x)-A\mid<\epsilon$,称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 的右极限是 A,记作:
$$ \lim\limits_{n\rightarrow x_0^+}f(x)=A = f(x_0+o)=f(x_0^+) $$
6.$\lim\limits_{n\rightarrow x_0^-}f(x)=A $
定义 6:设 $\exist\delta_0>0,f(x)$ 在 $\biguplus_-(x_0,\delta_0)(x\in (x_0-\delta_0,x_0))$ 中有定义 $,A$ 是一个确定的常数,对于 $\forall\epsilon>0,\exist \delta>0(\delta\leq\delta_0),$ 当 $x_0-\delta<x<x_0$,都有 $\mid f(x)-A\mid<\epsilon$,称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 的左极限是 A,记作:
$$ \lim\limits_{n\rightarrow x_0^-}f(x)=A = f(x_0-o)=f(x_0^-) $$
(二)函数极限的几何意义
(三)定理
== 定理 1.1==:$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f(x)=A$ 的充要条件是 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow-\infty} f(x)=A$ 。
==定理 1.2==:$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x)=A$ 的充要条件是 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0^+} f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow x_0^-} f(x)=A$ 。
==定理 1.3==:$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x)=A\geq 0$,则 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{A}$
(四)重要极限
(1). $\lim\limits_{n\rightarrow-\infty} \frac{1}{x^k}=0(k>0,k 为常数)$
(2).$\lim\limits_{n\rightarrow 0} \frac{1}{x^k}=+\infin(k>0,k 为常数)$
二、函数极限的性质
以 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f(x)$ 为例,($x_0$ 为常数)
(一)唯一性
若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x)$ 存在,则极限必唯一。
(二)局部有界性
若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =a$,则 $\exist\delta_0>0$,当 $x\in \biguplus(x_0,\delta_0)$ 时,$\mid f(x)\mid \leq M$。
(三)不等式性质 1
若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A$,$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} g(x) =B$,且 $A<B$,则 $\exist \delta_0>0$,当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta_0$,时,有 $f(x)<g(x)$。
即:== 谁的极限大,充分靠近 $x_0$,谁的函数值就大。==
==推论 ==
(保正号)
若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A>0$,对任何常数 $0<\eta<A$,$\exist\delta>0$,当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$, 都有 $f(x)>\eta>0$。
(保负号)
若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A<0$,对任何常数 $A<\eta<0$,$\exist\delta>0$,当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$, 都有 $0>\eta>f(x)$。
(四)不等式性质 2
若 $\delta_0>0$,当 $0<\mid x-x_0\mid<s_0$ 时,都有 $f(x)\leq g(x)$,且 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) =A,\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x) =B$,则 $A\leq B$
==注意:结论中的 $\leq$ 中的等号不能去掉。==
(五)极限的四则运算
若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A,\lim\limits_{n\rightarrow x_0} g(x) =B$,(两个极限都需要存在)则:
$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} (f(x)\pm g(x))=A \pm B\\ $$
$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} (f(x)* g(x))=A * B $$
特别的:
$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} (c* g(x))=c*\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=c * B $$
$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B} $$
该结论可以推广到有现象,但不能推广到无限项。
务必注意,两个极限都必须存在 ,否则结果过程都是错的。
三、海涅定理(归结原则)
$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$ 存在的充要条件是:$\forall \{x_n\}\in\biguplus(x_0)$,且 $\lim\limits_{n\rightarrow \infin} x_n = x_0$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x_n)$ 的极限存在且相等。
在一般情况下,直接用这个定理很难用,所以我们通常使用其否命题。
推论(常用):若 $\exist\{x_n'\},\{x_n''\}\in\biguplus(x_0)$,且 $\lim\limits_{x\rightarrow\infin} x_n'=x_0,\lim\limits_{x\rightarrow\infin} x_n''=x_0$,
- 有 $\lim\limits_{n\rightarrow \infin} f(x_n')=B,\lim\limits_{n\rightarrow \infin} f(x_n'')=C$ 且 $B\neq C$
- 或者 $\exist\{x_n'\}\in\biguplus(x_0)$,且 $\lim\limits_{n\rightarrow \infin} f(x_n)$ 不存在,
则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$ 不存在。
概括来说:①函数的一个 $\{x_n\}$ 极限不存在,②或者两个 $\{x_n\}$ 极限不相等,这时我们说这函数极限不存在。
四、无穷小量、无穷小量阶的比较、无穷大量
(一)概念
定义 1(无穷小量的定义):若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0$,称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 时是无穷小量。
例:$\lim\limits_{n\rightarrow \infin} \frac{1}{x}=0$ 称 $\frac{1}{x}$ 当 $x \rightarrow\infin$ 是无穷小量。,不能直接说 $\frac{1}{x}$ 是无穷小量。
定义 2(有界量的定义):$\exist \delta_0>0,\exist M>0$ 当 $x\in\biguplus(x_0.\delta_0)$ 时,都有 $\mid f(x)\mid\leq M$(常数),即 $f(x)在 \biguplus(x_0,\delta_0)$ 有界,称 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0 $ 是有界量。
$f(x)$ 是有界函数 $ \Rightarrow f(x)$ 是有界量。 == 反之不成立。==
定义 3(无穷大量的定义):设 $f(x)$ 在 $\biguplus (x_0,\delta_0)$ 上有定义,$\forall M>0,\exist\delta>0(\delta<\delta_0)$,当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$ 时,都有 $\mid f(x)\mid>M$,称 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时是无穷大量,记作 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin$
(二)定理
若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A$(常数)$\Leftarrow\Rightarrow $ $f(x)=A+\alpha(x)$,其中,$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\alpha(x)=0$
若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin$,则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=0$(条件隐含 $f(x)$ 不为 0)
若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0$,$\exist\delta_0>0,x\in\biguplus(x_0,\delta_0)时,f(x)\neq0$,则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=\infin$
(三)性质
- 无穷小量
性质 1:有限个无穷小量之和仍是无穷小量。(无限个项不成立)
性质 2:有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
性质 3:有界量 ($sinx$) 与无穷小量之积仍是无穷小量。
推论:有界函数与无穷小量之积仍是无穷小量。
- 无穷大量
性质 4:两个无穷大之和不一定是无穷大。(但同号除外)
例:
$$ \lim\limits_{n\rightarrow \infin} n=+\infin,\\ \lim\limits_{n\rightarrow \infin} (-n)=-\infin\\ \lim\limits_{n\rightarrow \infin} [n+(-n)]=0 $$
性质 5:有限个无穷大之积仍是无穷大。
性质 6:有界量与无穷大量之和仍未无穷大量
推论:有界函数与无穷大量之和仍是无穷大量
性质 7:若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin,\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=C(常)(C\neq 0)$,则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)g(x)=\infin$
性质 8:若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=C(常),(C\neq 0),\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=0$,则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac {f(x)}{g(x)}=\infin$
性质 9:若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$ 极限不存在,$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=C(C\neq0)$(C 为常数),则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)g(x)$ 不存在
(四)无穷小量阶的比较
参考:无穷小量阶的比较
$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0,\lim\limits_{x\rightarrow g_0} f(x)=0$
1. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$,称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小量,记作
$$ f(x)=o(g(x))(x\rightarrow x_0)\\ \Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0\\ \Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{o(g(x))}{g(x)}=0 $$
2. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=C$(常数),称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶无穷小量。记作 $f(x)$~$ Cg(x)$
3. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$,称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶无穷小量。记作:$f(x)$~$ g(x)$
4. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{(x-x_0)^k}=C(k>0,k 为常数)$,称 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时是 $(x-x_0)$ 的 $k$ 阶无穷小量
$\Leftarrow\Rightarrow $ $f(x) $~$ C()$
(五)等价量
(1)概念
1. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac {f(x)}{g(x)}=1$,则称 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时是 $g(x)$ 的 == 等价量==,记作:
$$ f(x)\sim g(x) $$
2. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A(常)\neq 0$,则 $f(x)\sim A(x\rightarrow x_0)$。
(2)等价量替换定理
$$ 若 x\rightarrow x_0 时,f(x)\sim f_1(x),g(x)\sim g_1(x),h(x)\sim h_1(x)\\ 且 \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f_1(x)g_1(x)}{h_1(x)}=A(\infin)(不存在)\\ 则 \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)g(x)}{h(x)}=A(\infin)(不存在) $$
在求 分式 极限的过程中,可以把分子、分母中的 因式 ,用它们中的等价量替代,则极限不变。 只需把分子、分母中复杂的因式替换即可。
特别注意 **:分子、分母中加减的项不能替换。
特别注意:等加量替换只能用于分式求极限。
五、判断函数极限存在准则
以 $x \rightarrow x_0$ 为例。
(一)夹逼定理
若 $\exist \delta_0>0$,当 $0<\mid x-x_0 \mid<\delta_0$ 时,都有 $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$,且 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=A$,则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} h(x)=A$。
(二)函数极限的单调有界定理
六、两个重要极限
(一)$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1$
在推导该极限的过程中,我们有一个重要的不等式:$\sin x<x$,我们可以将其推广到:
$$ \mid \sin x\mid\leq \mid x\mid。 $$
(二)$\lim\limits_{x\rightarrow \infin}(1+\frac{1}{x})^x=e$
令 $t=\frac{1}{x}$,则上式可转换为:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e $
即:当 $x\rightarrow x_0$,如果 $f(x)\rightarrow 0$,则有
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+f(x))^{\frac{1}{f(x)}}=e $, 属于 $1^{\infin}$ 型。
从而有重要的等价无穷小量:
当 $x\rightarrow x_0$ 时
$$ \sin x \sim x,\\\tan x\sim x,\\1-\cos x\sim \frac{x^2}{2} $$
附录:概念的明确
$$ x\rightarrow x_0\quad\quad\exist\delta>0, 当 0 <\mid x-x_0\mid<\delta\\ x\rightarrow x_0^-\quad\quad\exist\delta>0, 当 x_0-\delta <x<x_0\\ x\rightarrow x_0^+\quad\quad\exist\delta>0, 当 x_0 <x<x_0+\delta\\ x\rightarrow +\infin\quad\quad\,\exist X>0, 当 x >X\\ x\rightarrow -\infin\quad\quad\,\exist X>0, 当 x <-X\\ x\rightarrow \infin\quad\quad\,\exist X>0, 当 \mid x\mid>X\\ n\rightarrow \infin\quad\quad\,\exist N,当 n >N $$
我们说 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时极限存在,指的是 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A(常)$
而 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin$ 属于极限不存在,但是有个趋势,给它一个记号。这与 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infin} \sin x$ 是有区别的,它没有趋势。