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§3. 函数极限

一、函数极限的概念

（一）函数极限的定义

1.$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}f(x) =A$

定义 1：设 $f(x)$ 在 $[a,+\infin)$ 上有定义，（$a$ 是某个常数），$A$ 是一个确定的常数，若 $\forall\epsilon>0$，$\exist X>0$，当 $x>X$ 的一切实数时，都有 $\mid f(x)-A\mid <\epsilon$，称 $f(x)$ 趋于正无穷大时的极限为 $A$，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}f(x) =A $$

或者

$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow +\infin) $$

2.$\lim\limits_{n\rightarrow-\infty}f(x) =A$

定义 2：设 $f(x)$ 在 $（-\infin,a]$ 上有定义，（$a$ 是某个常数），$A$ 是一个确定的常数，若 $\forall\epsilon>0$，$\exist X > 0$，当 $x<-X$ ，都有 $\mid f(x)-A\mid <\epsilon$ ，称 $f(x)$ 趋于负无穷大时的极限为 $A$，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow-\infty}f(x) =A $$

或者

$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow -\infin) $$

3.$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x) =A$

定义 3 ：设 $f(x)$ 在 $（-\infin,a]\bigcap [b,+\infin)(a \leq b, a,b$ 均为常数 $)$ 上有定义，$A$ 是一个确定的常数，若 $\forall\epsilon>0$，$\exist X > 0$，，当 $\mid x\mid>X$，（ $x<-X$ 或 $x>X$），都有 $\mid f(x)-A\mid <\epsilon$ ，称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于无穷大时极限为 $A$，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x) =A $$

或者

$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow \infin) $$

==注意：==$x\rightarrow x_0$ 表明的是一个趋势 ,$x\in\biguplus(x_0) ,x\neq x_0$

4.$\lim\limits_{n\rightarrow x_0}f(x)=A$

定义 4：若 $\exist\delta_0 >0 ,f(x)$ 在 $\biguplus(x_0,\delta_0)$ 中有定义，对于 $\forall \epsilon>0,\exist\delta >0(\delta\leq\delta_0)$，当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$ 时，都有 $\mid f(x)-A\mid<\epsilon$，称 $f(x)$ 当 $x$ 趋向于 $x_0$ 时的极限为 $A$，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow x_0}f(x)=A $$

或者：

$$ f(x)\rightarrow A(x \rightarrow x_0) $$

5.$\lim\limits_{n\rightarrow x_0^+}f(x)=A$

定义 5：设 $\exist\delta_0>0,f(x)$ 在 $\biguplus_+(x_0,\delta_0)(x\in (x_0,x_0+\delta_0))$ 中有定义,$A$ 是一个确定的常数，对于 $\forall\epsilon>0, \exist\delta>0(\delta\leq\delta_0),$ 当 $x_0<x<x_0+\delta$，都有 $\mid f(x)-A\mid<\epsilon$，称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 的右极限是 A，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow x_0^+}f(x)=A = f(x_0+o)=f(x_0^+) $$

6.$\lim\limits_{n\rightarrow x_0^-}f(x)=A $

定义 6：设 $\exist\delta_0>0,f(x)$ 在 $\biguplus_-(x_0,\delta_0)(x\in (x_0-\delta_0,x_0))$ 中有定义 $,A$ 是一个确定的常数，对于 $\forall\epsilon>0,\exist \delta>0(\delta\leq\delta_0),$ 当 $x_0-\delta<x<x_0$，都有 $\mid f(x)-A\mid<\epsilon$，称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 的左极限是 A，记作：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow x_0^-}f(x)=A = f(x_0-o)=f(x_0^-) $$

（二）函数极限的几何意义

（三）定理

== 定理 1.1==：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f(x)=A$ 的充要条件是 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow-\infty} f(x)=A$ 。

==定理 1.2==：$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x)=A$ 的充要条件是 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0^+} f(x)=\lim\limits_{n\rightarrow x_0^-} f(x)=A$ 。

==定理 1.3==：$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x)=A\geq 0$，则 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{A}$

（四）重要极限

(1). $\lim\limits_{n\rightarrow-\infty} \frac{1}{x^k}=0(k>0,k 为常数)$

(2).$\lim\limits_{n\rightarrow 0} \frac{1}{x^k}=+\infin(k>0,k 为常数)$

二、函数极限的性质

以 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f(x)$ 为例，($x_0$ 为常数)

（一）唯一性

若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x)$ 存在，则极限必唯一。

（二）局部有界性

若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =a$，则 $\exist\delta_0>0$，当 $x\in \biguplus(x_0,\delta_0)$ 时，$\mid f(x)\mid \leq M$。

（三）不等式性质 1

若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A$，$\lim\limits_{n\rightarrow x_0} g(x) =B$，且 $A<B$，则 $\exist \delta_0>0$，当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta_0$，时，有 $f(x)<g(x)$。

即：== 谁的极限大，充分靠近 $x_0$，谁的函数值就大。==

==推论 ==

（保正号）

若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A>0$，对任何常数 $0<\eta<A$，$\exist\delta>0$，当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$, 都有 $f(x)>\eta>0$。

（保负号）

若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A<0$，对任何常数 $A<\eta<0$，$\exist\delta>0$，当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$, 都有 $0>\eta>f(x)$。

（四）不等式性质 2

若 $\delta_0>0$，当 $0<\mid x-x_0\mid<s_0$ 时，都有 $f(x)\leq g(x)$，且 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) =A,\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x) =B$，则 $A\leq B$

==注意：结论中的 $\leq$ 中的等号不能去掉。==

（五）极限的四则运算

若 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x) =A,\lim\limits_{n\rightarrow x_0} g(x) =B$,（两个极限都需要存在）则：

$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} (f(x)\pm g(x))=A \pm B\\ $$

$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} (f(x)* g(x))=A * B $$

特别的：

$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0} (c* g(x))=c*\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=c * B $$

$$ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B} $$

该结论可以推广到有现象，但不能推广到无限项。

务必注意，两个极限都必须存在 ，否则结果过程都是错的。

三、海涅定理（归结原则）

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$ 存在的充要条件是：$\forall \{x_n\}\in\biguplus(x_0)$，且 $\lim\limits_{n\rightarrow \infin} x_n = x_0$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow x_0} f(x_n)$ 的极限存在且相等。

在一般情况下，直接用这个定理很难用，所以我们通常使用其否命题。

推论（常用）：若 $\exist\{x_n'\},\{x_n''\}\in\biguplus(x_0)$，且 $\lim\limits_{x\rightarrow\infin} x_n'=x_0,\lim\limits_{x\rightarrow\infin} x_n''=x_0$,

• 有 $\lim\limits_{n\rightarrow \infin} f(x_n')=B,\lim\limits_{n\rightarrow \infin} f(x_n'')=C$ 且 $B\neq C$
• 或者 $\exist\{x_n'\}\in\biguplus(x_0)$，且 $\lim\limits_{n\rightarrow \infin} f(x_n)$ 不存在，

则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$ 不存在。

概括来说：①函数的一个 $\{x_n\}$ 极限不存在，②或者两个 $\{x_n\}$ 极限不相等，这时我们说这函数极限不存在。

四、无穷小量、无穷小量阶的比较、无穷大量

（一）概念

定义 1（无穷小量的定义）：若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0$，称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 时是无穷小量。

例：$\lim\limits_{n\rightarrow \infin} \frac{1}{x}=0$ 称 $\frac{1}{x}$ 当 $x \rightarrow\infin$ 是无穷小量。，不能直接说 $\frac{1}{x}$ 是无穷小量。

定义 2（有界量的定义）：$\exist \delta_0>0,\exist M>0$ 当 $x\in\biguplus(x_0.\delta_0)$ 时，都有 $\mid f(x)\mid\leq M$（常数），即 $f(x)在 \biguplus(x_0,\delta_0)$ 有界，称 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0 $ 是有界量。

$f(x)$ 是有界函数 $ \Rightarrow f(x)$ 是有界量。 == 反之不成立。==

定义 3（无穷大量的定义）：设 $f(x)$ 在 $\biguplus (x_0,\delta_0)$ 上有定义，$\forall M>0,\exist\delta>0(\delta<\delta_0)$，当 $0<\mid x-x_0\mid<\delta$ 时，都有 $\mid f(x)\mid>M$，称 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时是无穷大量，记作 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin$

（二）定理

若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A$（常数）$\Leftarrow\Rightarrow $ $f(x)=A+\alpha(x)$，其中，$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\alpha(x)=0$

若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin$，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=0$（条件隐含 $f(x)$ 不为 0）

若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0$，$\exist\delta_0>0,x\in\biguplus(x_0,\delta_0)时,f(x)\neq0$，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)}=\infin$

（三）性质

• 无穷小量

性质 1：有限个无穷小量之和仍是无穷小量。（无限个项不成立）

性质 2：有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

性质 3：有界量 ($sinx$) 与无穷小量之积仍是无穷小量。

推论：有界函数与无穷小量之积仍是无穷小量。

• 无穷大量

性质 4：两个无穷大之和不一定是无穷大。（但同号除外）

例：

$$ \lim\limits_{n\rightarrow \infin} n=+\infin,\\ \lim\limits_{n\rightarrow \infin} (-n)=-\infin\\ \lim\limits_{n\rightarrow \infin} [n+(-n)]=0 $$

性质 5：有限个无穷大之积仍是无穷大。

性质 6：有界量与无穷大量之和仍未无穷大量

推论：有界函数与无穷大量之和仍是无穷大量

性质 7：若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin,\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=C(常)(C\neq 0)$，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)g(x)=\infin$

性质 8：若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=C(常),(C\neq 0),\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=0$，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac {f(x)}{g(x)}=\infin$

性质 9：若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$ 极限不存在，$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=C(C\neq0)$（C 为常数），则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)g(x)$ 不存在

（四）无穷小量阶的比较

参考：无穷小量阶的比较

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=0,\lim\limits_{x\rightarrow g_0} f(x)=0$

1. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0$，称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小量，记作

$$ f(x)=o(g(x))(x\rightarrow x_0)\\ \Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=0\\ \Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{o(g(x))}{g(x)}=0 $$

2. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=C$（常数），称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶无穷小量。记作 $f(x)$~$ Cg(x)$

3. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=1$，称 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶无穷小量。记作：$f(x)$~$ g(x)$

4. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{(x-x_0)^k}=C(k>0,k 为常数)$，称 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时是 $(x-x_0)$ 的 $k$ 阶无穷小量

$\Leftarrow\Rightarrow $ $f(x) $~$ C()$

（五）等价量

（1）概念

1. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac {f(x)}{g(x)}=1$，则称 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时是 $g(x)$ 的 == 等价量==，记作：

$$ f(x)\sim g(x) $$

2. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A(常)\neq 0$，则 $f(x)\sim A(x\rightarrow x_0)$。

（2）等价量替换定理

$$ 若 x\rightarrow x_0 时，f(x)\sim f_1(x),g(x)\sim g_1(x),h(x)\sim h_1(x)\\ 且 \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f_1(x)g_1(x)}{h_1(x)}=A(\infin)(不存在)\\ 则 \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)g(x)}{h(x)}=A(\infin)(不存在) $$

在求 分式 极限的过程中，可以把分子、分母中的 因式 ，用它们中的等价量替代，则极限不变。 只需把分子、分母中复杂的因式替换即可。

特别注意 **：分子、分母中加减的项不能替换。

特别注意：等加量替换只能用于分式求极限。

五、判断函数极限存在准则

以 $x \rightarrow x_0$ 为例。

（一）夹逼定理

若 $\exist \delta_0>0$，当 $0<\mid x-x_0 \mid<\delta_0$ 时，都有 $f(x)\leq h(x)\leq g(x)$，且 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=A$，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} h(x)=A$。

（二）函数极限的单调有界定理

六、两个重要极限

（一）$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1$

在推导该极限的过程中，我们有一个重要的不等式：$\sin x<x$，我们可以将其推广到：

$$ \mid \sin x\mid\leq \mid x\mid。 $$

（二）$\lim\limits_{x\rightarrow \infin}(1+\frac{1}{x})^x=e$

令 $t=\frac{1}{x}$，则上式可转换为：

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e $

即：当 $x\rightarrow x_0$，如果 $f(x)\rightarrow 0$，则有

$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+f(x))^{\frac{1}{f(x)}}=e $， 属于 $1^{\infin}$ 型。

从而有重要的等价无穷小量：

当 $x\rightarrow x_0$ 时

$$ \sin x \sim x,\\\tan x\sim x,\\1-\cos x\sim \frac{x^2}{2} $$

附录：概念的明确

$$ x\rightarrow x_0\quad\quad\exist\delta>0, 当 0 <\mid x-x_0\mid<\delta\\ x\rightarrow x_0^-\quad\quad\exist\delta>0, 当 x_0-\delta <x<x_0\\ x\rightarrow x_0^+\quad\quad\exist\delta>0, 当 x_0 <x<x_0+\delta\\ x\rightarrow +\infin\quad\quad\,\exist X>0, 当 x >X\\ x\rightarrow -\infin\quad\quad\,\exist X>0, 当 x <-X\\ x\rightarrow \infin\quad\quad\,\exist X>0, 当 \mid x\mid>X\\ n\rightarrow \infin\quad\quad\,\exist N，当 n >N $$

我们说 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时极限存在，指的是 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=A(常)$

而 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)=\infin$ 属于极限不存在，但是有个趋势，给它一个记号。这与 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infin} \sin x$ 是有区别的，它没有趋势。