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§2.数列极限

数列极限是整个微积分的核心,它的思想贯穿整个微积分之中。

数列极限是最基本、最核心、最重要、最难的。

一、数列极限的定义

1.定义

设$\{a_n\}$是一个给定的数列,$a$是一个确定的常数

$$ 若\forall \epsilon >0\\ 相应地,\exist N,当n>N时,都有\\ \mid a_n-a\mid < \epsilon \\ 称\{a_n\}的极限是a,记作\\ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \quad a_n = a 或a_n \rightarrow a (n\rightarrow\infty) $$

2.定义的理解

  • 定义中的 $\forall\epsilon>0,\epsilon$ 指的是一切正数。
  • N的相应性。

$$ 先有\epsilon,后有N\\ n>N,都有\mid a_n-a\mid < \epsilon成立 $$

N是界限,是不是自然数都无关紧要。

3.几何意义

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n = a,即\\ \forall \epsilon>0,\exist N,当n>N时\\ 都有\mid a_n-a \mid< \epsilon \\ 即:-\epsilon<a_n-a<\epsilon\\ 即a-\epsilon<a_n<a+\epsilon\\ 即:a_n\in(a-\epsilon,a+\epsilon) $$

对于a的任何ξ邻域U(a,ξ),在外部仅有数列的有限项,其余项全部在邻域内。

二、证明的方法

1.分析法

使用分析法进行证明:

$$ 要证明\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n=a,只要证:\\ \forall \epsilon>0,\exist N,当n>N时,\\ 都有\mid a_n-a\mid<\epsilon 成立 $$

在具体的题目中,

$$ a_n、a已知,\forall \epsilon给过以后就成为定值\\ \mid a_n-a\mid <\epsilon这个不等式是已知的,n>N是待求的 $$

2.适当放大法

$$ \exist\epsilon>0,若要\mid a^n-a\mid<\epsilon成立,\\ 把左边放大,即:\\ 由\mid a^n-a\mid\leq g(n)\quad (n>N_1)\\ 只要g(n)<\epsilon\quad(n>N_2)\\ 取N=MAX\{N_1,N_2\}\\ 当n>N时\\ 都有\mid a_n-a\mid\leq g(n)<\epsilon $$

要求:

(1)$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} g(n)=0$

(2)$g(n)尽量简单$

三、几种重要的数列极限:

1.常数列

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} C=C $$

2.分数数列

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \frac{1}{n^k}\quad(k>0,k为常数) $$

3.幂数列

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}q^n=0\quad(\mid q\mid<1,q为常数) $$

4.根式数列

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a}=1\quad(a>0,a为常数) $$

5.阶乘数列

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{a^n}{n!}=0 $$

6.根式数列2

需要用二项展开式证明:

$$ \lim{n\rightarrow+\infty}\quad \sqrt[n]{n}=1\quad(a>0,a为常数) $$

四、收敛数列的性质

1.性质1:唯一性

性质1.1:若数列{an}有极限,则极限必唯一。

性质1.2:若数列{an}有极限,则该数列收敛。否则{an}发散。

性质1.3:一个数列改变其有限项或去掉其有限项或添加有限项,不改变数列的收敛性。

性质1.4:若原数列收敛,改变有限项后极限值不变。

2.性质2:收敛的必要条件

$$ \exist常数M>0,\forall n\in N.\\ 都有\mid a_n\mid \leq M,则称\{a_n\}有界 $$

性质1:若数列{an}收敛,则{an}有界。反之不成立。

3.性质3:不等式性质1

$$ 若\lim{n\rightarrow+\infty}\quad a_n=a,\\ \lim{n\rightarrow+\infty}\quad b_n=b\\ 且a<b,\\ 则\exist N_0,当n>N_0时,都有a_n<b_n $$

4.性质4:不等式性质2

$$ 若\exist N_0,当n>N_0时,都有a_n\geq b_n\\ 且\lim{n\rightarrow+\infty}\quad a_n=a,\lim{n\rightarrow+\infty}\quad b_n=b,\\ 则a \geq b $$

注意:该性质中结论里的等号不能去掉。

举例:

$$ a_n=\frac{1}{n},\quad b_n=-\frac{1}{n}\\ \frac{1}{n}>-\frac{1}{n}(n>1)\\ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} \frac{1}{n}=0,\\ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} -\frac{1}{n}=0,\\ $$

5.推论1:保号性

保正号:

$$ 若\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n = a>0,\\ 对任何常数\quad0<\eta<a\\ \exist N,当n>N时,都有a_n>\eta>0 $$

保负号同理。

6.性质5:数列极限的四则运算

(1)极限的加减运算

若$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}a_n=a$ , $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} b_n=b$ , $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(a_n\pm b_n) = a\pm b$ ,

==(要求极限都存在,可以在计算中验证)==

(2)极限的乘除运算

若$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n=a$ , $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} b_n=b$ ,

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(a_n * b_n) = \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n * \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} b_n =a * b $$

特别的,$c$为常数,

$$ \lim{n\rightarrow+\infty}\quad (c*a_n) \\ =\lim{n\rightarrow+\infty}\quad c* \lim{n\rightarrow+\infty}\quad a_n=c* \lim{n\rightarrow+\infty}\quad a_n $$

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n}{\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} b_n}=\frac{a}{b} $$

(3)四则运算的推广

数列极限的四则运算可以推广到有限项,前提是这些项的极限都存在。==但不能推广到无限项。==

遇到无限项,需要转换为有限项,或者使用其他方法。

五、判断数列收敛的两个准则

1.定理:夹逼定理

(1)夹逼定理的内容

又叫三明治定理、两边夹定理、迫敛性定理

若$\exist N_0,$当 $n>N_0$时都有 $a_n \leq c_n \leq b_n$ ,且

$$ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n=a,\\ \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} b_n=a. $$

则,数列 $\{c_n\}$ 收敛,且 $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} c_n = a$

==证明:==

$$ 由\lim\limits_{n\to\infty} a_n = a,\forall\epsilon>0,\\ \exist N_1,当n> N_1时,都有\mid a_n-a\mid<\epsilon.\\ 即:a-\epsilon<a_n<a+\epsilon\\ 由\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} b_n = a,\forall\epsilon>0,\\ \exist N_2,当n> N_2时,都有\mid b_n-a\mid<\epsilon.\\ 即:a-\epsilon< b_n<a+\epsilon\\ \because n>N_0时,a_n<c_n<b_n,\\ 取N=Max\{N_0,N_1,N_2\},当n>N时,\\ a-\epsilon<a_n\leq c_n\leq b_n<a+\epsilon \\ 即:a-\epsilon < c_n<a+\epsilon\\ \mid c_n-a\mid <\epsilon\\ \therefore \lim\limits_{n\rightarrow+\infty} c_n = a $$

(2)什么时候应用夹逼定理?

若一个数列有很多项(包括无限项)相加或相乘,但是不能化简,不能用极限的四则运算,可以尝试用夹逼定理。==(要进行适当的缩小放大,但是要确保缩小、放大的极限值相等)==

2.单调有界定理(原理)

在数学分析中,有7个命题是等价的,即其中一个命题成立,其他命题成立,但如果证明其中一个命题,没有利用其他命题,是无法证明出来的。所以将其中一个命题作为公理。这七个命题分别是:

  • 戴狄金分割原理
  • 确界原理
  • 单调有界定理(作为公理)
  • 聚点定理
  • 区间套定理
  • 有限覆盖定理
  • 柯西收敛准则

(1)单调有界定理的内容

若数列 $\{a_n\}$ 递增有上界,则 $\{a_n\}$ 收敛

==递增==:$a_1<a_2<a_3<……<a_n$

==有上界==:$\exist M,\forall n\in N$ 都有$a_n\leq M$

若数列 $\{a_n\}$ 递减有下界,则 $\{a_n\}$ 收敛

即 $\{a_n\}$ 单调且有界,则 $\{a_n\}$ 收敛。

==注==:定理的条件可以减弱为 $\{a_n\}$ ,当 $ n>N_0$ 时单调有界,则 $\{a_n\}$ 收敛。

(2)什么时候应用单调有界定理?

若 $\{a_n\}$ 时由递推关系式给出,或者证明 $\{a_n\}$ 收敛,并求出极限,或者只要求证明 $\{a_n\}$ 收敛,或者不能用夹逼定理。

六、研究$(1+\frac{1}{n}^n)$ 的收敛性

预备知识

$$ \frac{a_1+a_2+…+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1.a_2.….a_n} $$

此处省略内容,详情见课本及题集。

七、子数列

1.定义

设 $\{a_n\}$ 是一个给定的数列,从该数列中,挑选出无限项,按照原来的顺序排成一无限列,$\{a_{n1},a_{n2}…a_{nk}\}$ ,称为$\{a_n\}$ 的子数列,记作:$\{a_{nk}\}$, $nk$ 指的是原来数列的下表,$k$ 是新的数列的下标。其中,==$n_k\geq k$== 。

2.定理

(1)定理1

数列$\{a_n\}$ 收敛的充要条件是$\{a_n\}$ 的任何子数列$\{a_{nk}\}$ 收敛,且极限相等。

(2)定理2

数列 $\{a_n\}$ 收敛的重要条件是:$\{a_{2k}\}$,$\{a_{2k-1}\}$ 极限都存在且相等。

3.推论——证明数列发散

在 $\{a_n\}$ 中

  • ==挑选两个子数列,极限存在,但不相等;==
  • 挑选一个子数列,极限不存在;

则 $\{a_n\}$ 发散。

Last modification:May 20th, 2020 at 06:31 pm
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